転職活動をして、ハローワークを通して、約１ヶ月前に内定(10月よりお願いしますと、挨拶しました)を頂き、その後、別の機関の紹介でより魅力的な会社の内定を頂きました。
先に内定を頂いた会社に、辞退をする場合、ハローワークにも連絡必要ですか？また、その会社には、電話だと失礼と思えるので、手紙のほうが良いですか？
現在、まだ在職中で、今月中に退職します。

辞退する会社にきちんと連絡をすれば、ハローワークに連絡する必要はないと思います。（会社からハローワークに連絡するはず）
応募の段階で辞退する場合には、紹介状を発行しているのでハローワークに連絡が必要だと言われました。

辞退の連絡はなるべく早めに電話がいいと思います。手紙だと時間がかかるので。

電話だけで気になるのであれば、後日改めてお詫びの手紙を出されればいいと思います。

採用説明書および退職証明書について質問です。（失業手当受給中）
現在、就職活動をしています。
失業保険については、受給制限中（3ヶ月目です。今月末に制限期間が終わります）ですが、
先々月から先月末まで、短期で派遣のお仕事をしていました。

このたび、再び短期でお仕事が決まりそうなのですが、
「受給者のしおり」に添付されている採用証明書および退職証明書については、
前回のお仕事の際に切り取って提出してしまっていて、もう余りがありません。

この場合、ハローワークへ相談すれば、また別途証明書の
フォーマットをいただくことができるのでしょうか？

お詳しいかたがいらっしゃいましたら、
お教え願います。

ハローワークに質問内容と同じ説明をされればもらえると思います。

また今後も短期間の就労で使いそうでしたら、コピーを取っておくことが懸命です。

家族経営の店で、ハローワークに求人を出そうと考えています。
今までは国民健康保険でよかったのですが、

雇用保険に登録しなくては求人は出せないのでしょうか?
初めて求人をするので・・。詳しい方よろしくお願いします。

求人申し込みの際は、雇用保険に入っていることが基本です。
ただしご質問のケースのように、
現在、家族従業員だけで雇用保険の被保険者に該当する人がいない場合は、
雇用保険未加入の状態でも例外的に求人申し込みは受け付けてくれます。
もちろん「採用に至った場合は雇用保険に加入する」ことが前提になりますが…。

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